第704章 一道数学题引发的(上)
好容易用垛积术将该题算出来,后面几道,又是需用到“大衍求一术”与“垛积术”算法的题目。
这些题目涉及到工程、赋役、军旅等方面的实际问题,不用这些算法,根本不能解答。
此时出的算术题目,已经多是《数书九章》与《孙子算经》上的内容,深度比《九章算术》更进一层,黄博文甚至还跳过两题,等待空时解答。
便如这道题,说:“巍巍军营在镇西,不知营内几多兵。三千六百四十碗,看看用尽不差争。三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹。请问先生明算者,算来营内几多兵。”
虽然不是很难,但时间有限,他不能在每道题上多停留时间,先解下面的,毕竟这些盈不足术的题目繁杂耗时。
黄博文已过而立之年了,但仍然没有娶妻,虽说从小父母双亲就希望他读书上进,能考个功名,但多年来他还是童生。
就是因为他从小迷恋在别人看来是小道的算术,这八股文章做得不好,自然秀才的功名都考不中。
而且他父亲原本亦是落魄秀才一个,家中生活清苦,勉强只够温饱的,在父母双亲过世后,他的生活更加拮据,全靠走南闯北贩点商货谋生,生活的艰辛苦楚让他麻木,然内心何尝没有梦想?
宣府镇广招吏员,而且注重实务算术给了他希望,机会就在眼前,岂能不拼命?
他呵呵冻得发木的手,在桌边火炉上烤了烤,又用力揉揉脸,继续集中精神,解答下面的题目。
随后他一愣,看着下面这道题:“形学题?”
坐在他前方几排的刘冬阳也是双目一缩:“几何题?”
刘冬阳的家世经历比黄博文较为幸福,毕竟他父母双亲仍然健在,自己也娶了妻子。还有了一子一女,算是生活美满。祖上更曾经阔过,所以能供养他中了秀才,还过了一段衣来伸手。饭来张口的富少生活。
刘冬阳从小算接受良好的家庭教育,同样对算术非常有兴趣,早在少时,他在父亲书架上便发现古时数学名著,《九章算术》。从此迷上了数学。
以后他更收罗了不少算术书籍,便是徐光启翻译欧几里得所著的《几何原本》,一样有收罗到。
中西数学各自的特点所长,让刘冬阳大开眼界。
西学那里讲究逻辑严密,推理清晰,层层推进,最后得到结果。中学则偏重解法,讲究计算技巧,不管你过程是什么,结果得到便是。有点象后世的素质教育,西学则有点象应试教育。
不过各自的魅力,双方迥异不同的数学思路,还是让刘冬阳迷失在数学的海洋之中。他研究《九章算术》同时,又吸取《几何原本》的新思路,使他数学造诣日趋高深。
只是好景不长,刘冬阳家道中落了,只得转行经商,然后挣点钱勉强糊口养活家人,毕竟数学好。不代表做生意就强。
宣府镇招吏员时,刘冬阳一家正在京师从商,家人只随便商量一下,便毅然全家过来应聘。
在《几何原本》中。徐光启定“形学”名为几何,内中还有一个个译名,如“平行线”、“三角形”、“对角”、“直角”、“锐角”、“钝角”、“相似”等等中文的名词术语,都在后世耳熟能详。
所以一看这题目,刘冬阳心中就浮起念头:“几何题……”
与黄博文一样,他也跳了题。其实不单单刘冬阳、黄博文二人,便是李坦然、赵中举等人一样不断跳题。
他们想看看后面的题目,有没有自己能做的,毕竟与昨日考试不一样,今日算术题,还是有迹可寻。
看到几何题目,各人纷纷拿出自己的矩与圆规,进考房时,考官还发下了铅笔。那矩又称曲尺,木匠多在用之,不过做算术题,矩物自然也需用到,还有圆规,早在夏朝便有出现。
黄博文仔细看着这道题:“假令圆城一所,不知周径,四面开门,门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为干地,其东北十字道头定为艮地,其东南十字道头定为巽地,其西南十字道头定为坤地。……或问:甲乙二人俱在干地,乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙,问径几里?”
“答题需写解法、演草。”
黄博文深深呼了口气:“吾以割圆术应之!”
他用矩物在草稿上画了个三角形,三个顶点分别定为天、地、干三点,然后用圆规画了个内切圆代表圆城,他推算着:“有言数之法皆出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为句广三,股修四,径隅五……”
他勾三股四的做图,定内切圆圆心为心,以过心的垂直线从上至下分别与三角形、内切圆交于日、南、北三点。以过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点,等等,分别算出勾与股,然后求其弦。
刘冬阳也是深深吸口气,开始画就草图:“余设直角三角形,分设甲、乙、丙三点……”
黄博文在算盘上哗哗的打着:“勾股求其弦,以勾乘股,倍之为实以为果……”
看着算盘上的结果,他满意的提笔写下,这时刘冬阳也用欧氏几何公式算出勾与股,然后用勾股定理得到结果,他写道:“答曰:城径二百四十步。”
虽然此时几何题已经考到《周髀算经》上的内容,不过第一题较为简单,便是赵中举磨磨蹭蹭,画了半天图,最后也做出来了。
下面几道几何题相对简单,便如这道:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”
黄博文与刘冬阳分别用中西法,也同时算了出来。
不过下面的题就难起来了,却是接上面那个圆城,却说:“或问出西门南行四百八十步有树,出北门东行二百步见之,问径几里?”
黄博文用力揉了一会脸。又动用天元术:“吾立天元一为半径,置南行步在地……”
他推算着:“以二行步相乘为实,二行步相并为从,一步常法。得半径。”
刘冬阳也是画图:“余设半径为未知数……”
赵中举又回头做了,李坦然终于算出那鸡的问题,奋起直追。
“今有积以和乘之,减积,余以平乘之加和。得一十七万一百六十二步。只云和为益实。四为益方,三为从上廉,二为益下廉,一为正隅,三平方开之,如平四分之一。问,长,平各几何?”
黄博文答:“平一十二步,长三十步。”
“今有黄方乘直积得二十四步,只云股弦和九步。问勾几何?”
黄博文答:“三步。”
“今有股幂减弦较较与股乘勾等。只云勾幂加弦较和与勾乘弦同。问股几何?”
黄博文立天元一为股,地元一为勾弦和,最后答:“四步。”
他感觉头脑一阵阵眩晕,太阳穴那边,更是阵阵跳着刺痛。刘冬阳也是放下毛笔,稍稍闭目养神,不过黄博文甩了甩头,还是看下一道题:“今有股弦较除弦和与直积等。只云勾股较除弦较和与勾同。问弦几何?”
黄博文极力坐稳,缓缓呼了口气,考试考到现在。能答完这么多题,他深深感到自豪,不过还有永宁侯爷压轴的题目摆在后面,自己一定要做到。
他拿起矩物与铅笔。在草稿上画图:“吾立天元一为勾,地元一为股,人元一为弦,物元一为开数!”
终于,他答完这道题,也终于看到永宁侯王斗。设下的那道压轴大题。
“靖边军有将显才擅使铳,有将瑄擅使炮,显才日射鴽鹅堆积之,叠越大,积越高,瑄笑曰:吾一炮击之,尔鴽堆尽跨也。”
“当知鴽堆为一尖锥,当知诸尖锥有积叠之理,元数起于丝发而递增之,而叠之则成平尖锥。一定之元数叠之则成平方,上少下多之元数叠之则成平尖锥,平方数起于丝发而渐增之而叠之,则成立尖锥。”
“一定之平方叠之则成立方,上少下多之平方叠之则成立尖锥。立方数起于丝发而渐增之变为面,而叠之则成三乘尖锥。当知三乘以上尖锥之底皆方,唯上四面不作平体而成凹形,乘愈多则凹愈甚。”
“当知三乘方数起于丝发而渐增之变为面,而叠之则成四乘尖锥,从此递推至无穷,线,面,体皆有循环之理。”
“请问先生明算者,此尖锥算法何如?尖锥积何多?瑄炮击之,此圆内积何多?”
黄博文目瞪口呆看着,他脑中一片嗡嗡作响,下意识就想:“吾立割圆术,垛积……”
随后又怔住了,割圆术虽可用来无限接近圆面积,称割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣,然不足解决眼前的问题。
此题有无穷小分割,又有无限大求和,然又定了设定,“当知诸乘方皆有尖锥”、“当知诸尖锥有积叠之理”,然后极限思想中,尖锥似乎又有曲线,又有运动。
还要求赵瑄炮击运动面积,这之间,似乎又是相互活动的。
因为尖锥不断变大变小,炮弹轨迹过去,面积也是不一样的。
这,这如何求积?
各样的画面在脑中转动,黄博文呆呆坐着,让他脑中嗡嗡声更为响动。
“儿啊,考功名才是正途!”
母亲双目中湿润的泪水。
“文儿,你这样下去,可如何是好?”
素来严厉的父亲,已经不说他什么,只是摇摇头,眼中闪过失望的神情,然后转身就走开了。
“黄博文,几十年你还是童生啊?”
同窗轻蔑嘲笑的眼神是如此刺骨,羞辱,打击,历历往事,从眼前飞速闪过。
“不,我要做出这条题,一举成名天下知!”
黄博文挣扎着,他伸手要拿来盘算,然眼前一阵阵金星乱冒,让他坐立不稳。他极力扶着桌面,身子仍不断摇摇晃晃,猛然,他一口鲜血喷出,眼前天旋地转,再也支持不住,就那样摔倒地上。
考房内一片惊叫,赵中举大叫:“不得了,有人考试考得吐血了……”(未完待续。)
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这些题目涉及到工程、赋役、军旅等方面的实际问题,不用这些算法,根本不能解答。
此时出的算术题目,已经多是《数书九章》与《孙子算经》上的内容,深度比《九章算术》更进一层,黄博文甚至还跳过两题,等待空时解答。
便如这道题,说:“巍巍军营在镇西,不知营内几多兵。三千六百四十碗,看看用尽不差争。三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹。请问先生明算者,算来营内几多兵。”
虽然不是很难,但时间有限,他不能在每道题上多停留时间,先解下面的,毕竟这些盈不足术的题目繁杂耗时。
黄博文已过而立之年了,但仍然没有娶妻,虽说从小父母双亲就希望他读书上进,能考个功名,但多年来他还是童生。
就是因为他从小迷恋在别人看来是小道的算术,这八股文章做得不好,自然秀才的功名都考不中。
而且他父亲原本亦是落魄秀才一个,家中生活清苦,勉强只够温饱的,在父母双亲过世后,他的生活更加拮据,全靠走南闯北贩点商货谋生,生活的艰辛苦楚让他麻木,然内心何尝没有梦想?
宣府镇广招吏员,而且注重实务算术给了他希望,机会就在眼前,岂能不拼命?
他呵呵冻得发木的手,在桌边火炉上烤了烤,又用力揉揉脸,继续集中精神,解答下面的题目。
随后他一愣,看着下面这道题:“形学题?”
坐在他前方几排的刘冬阳也是双目一缩:“几何题?”
刘冬阳的家世经历比黄博文较为幸福,毕竟他父母双亲仍然健在,自己也娶了妻子。还有了一子一女,算是生活美满。祖上更曾经阔过,所以能供养他中了秀才,还过了一段衣来伸手。饭来张口的富少生活。
刘冬阳从小算接受良好的家庭教育,同样对算术非常有兴趣,早在少时,他在父亲书架上便发现古时数学名著,《九章算术》。从此迷上了数学。
以后他更收罗了不少算术书籍,便是徐光启翻译欧几里得所著的《几何原本》,一样有收罗到。
中西数学各自的特点所长,让刘冬阳大开眼界。
西学那里讲究逻辑严密,推理清晰,层层推进,最后得到结果。中学则偏重解法,讲究计算技巧,不管你过程是什么,结果得到便是。有点象后世的素质教育,西学则有点象应试教育。
不过各自的魅力,双方迥异不同的数学思路,还是让刘冬阳迷失在数学的海洋之中。他研究《九章算术》同时,又吸取《几何原本》的新思路,使他数学造诣日趋高深。
只是好景不长,刘冬阳家道中落了,只得转行经商,然后挣点钱勉强糊口养活家人,毕竟数学好。不代表做生意就强。
宣府镇招吏员时,刘冬阳一家正在京师从商,家人只随便商量一下,便毅然全家过来应聘。
在《几何原本》中。徐光启定“形学”名为几何,内中还有一个个译名,如“平行线”、“三角形”、“对角”、“直角”、“锐角”、“钝角”、“相似”等等中文的名词术语,都在后世耳熟能详。
所以一看这题目,刘冬阳心中就浮起念头:“几何题……”
与黄博文一样,他也跳了题。其实不单单刘冬阳、黄博文二人,便是李坦然、赵中举等人一样不断跳题。
他们想看看后面的题目,有没有自己能做的,毕竟与昨日考试不一样,今日算术题,还是有迹可寻。
看到几何题目,各人纷纷拿出自己的矩与圆规,进考房时,考官还发下了铅笔。那矩又称曲尺,木匠多在用之,不过做算术题,矩物自然也需用到,还有圆规,早在夏朝便有出现。
黄博文仔细看着这道题:“假令圆城一所,不知周径,四面开门,门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为干地,其东北十字道头定为艮地,其东南十字道头定为巽地,其西南十字道头定为坤地。……或问:甲乙二人俱在干地,乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙,问径几里?”
“答题需写解法、演草。”
黄博文深深呼了口气:“吾以割圆术应之!”
他用矩物在草稿上画了个三角形,三个顶点分别定为天、地、干三点,然后用圆规画了个内切圆代表圆城,他推算着:“有言数之法皆出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为句广三,股修四,径隅五……”
他勾三股四的做图,定内切圆圆心为心,以过心的垂直线从上至下分别与三角形、内切圆交于日、南、北三点。以过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点,等等,分别算出勾与股,然后求其弦。
刘冬阳也是深深吸口气,开始画就草图:“余设直角三角形,分设甲、乙、丙三点……”
黄博文在算盘上哗哗的打着:“勾股求其弦,以勾乘股,倍之为实以为果……”
看着算盘上的结果,他满意的提笔写下,这时刘冬阳也用欧氏几何公式算出勾与股,然后用勾股定理得到结果,他写道:“答曰:城径二百四十步。”
虽然此时几何题已经考到《周髀算经》上的内容,不过第一题较为简单,便是赵中举磨磨蹭蹭,画了半天图,最后也做出来了。
下面几道几何题相对简单,便如这道:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”
黄博文与刘冬阳分别用中西法,也同时算了出来。
不过下面的题就难起来了,却是接上面那个圆城,却说:“或问出西门南行四百八十步有树,出北门东行二百步见之,问径几里?”
黄博文用力揉了一会脸。又动用天元术:“吾立天元一为半径,置南行步在地……”
他推算着:“以二行步相乘为实,二行步相并为从,一步常法。得半径。”
刘冬阳也是画图:“余设半径为未知数……”
赵中举又回头做了,李坦然终于算出那鸡的问题,奋起直追。
“今有积以和乘之,减积,余以平乘之加和。得一十七万一百六十二步。只云和为益实。四为益方,三为从上廉,二为益下廉,一为正隅,三平方开之,如平四分之一。问,长,平各几何?”
黄博文答:“平一十二步,长三十步。”
“今有黄方乘直积得二十四步,只云股弦和九步。问勾几何?”
黄博文答:“三步。”
“今有股幂减弦较较与股乘勾等。只云勾幂加弦较和与勾乘弦同。问股几何?”
黄博文立天元一为股,地元一为勾弦和,最后答:“四步。”
他感觉头脑一阵阵眩晕,太阳穴那边,更是阵阵跳着刺痛。刘冬阳也是放下毛笔,稍稍闭目养神,不过黄博文甩了甩头,还是看下一道题:“今有股弦较除弦和与直积等。只云勾股较除弦较和与勾同。问弦几何?”
黄博文极力坐稳,缓缓呼了口气,考试考到现在。能答完这么多题,他深深感到自豪,不过还有永宁侯爷压轴的题目摆在后面,自己一定要做到。
他拿起矩物与铅笔。在草稿上画图:“吾立天元一为勾,地元一为股,人元一为弦,物元一为开数!”
终于,他答完这道题,也终于看到永宁侯王斗。设下的那道压轴大题。
“靖边军有将显才擅使铳,有将瑄擅使炮,显才日射鴽鹅堆积之,叠越大,积越高,瑄笑曰:吾一炮击之,尔鴽堆尽跨也。”
“当知鴽堆为一尖锥,当知诸尖锥有积叠之理,元数起于丝发而递增之,而叠之则成平尖锥。一定之元数叠之则成平方,上少下多之元数叠之则成平尖锥,平方数起于丝发而渐增之而叠之,则成立尖锥。”
“一定之平方叠之则成立方,上少下多之平方叠之则成立尖锥。立方数起于丝发而渐增之变为面,而叠之则成三乘尖锥。当知三乘以上尖锥之底皆方,唯上四面不作平体而成凹形,乘愈多则凹愈甚。”
“当知三乘方数起于丝发而渐增之变为面,而叠之则成四乘尖锥,从此递推至无穷,线,面,体皆有循环之理。”
“请问先生明算者,此尖锥算法何如?尖锥积何多?瑄炮击之,此圆内积何多?”
黄博文目瞪口呆看着,他脑中一片嗡嗡作响,下意识就想:“吾立割圆术,垛积……”
随后又怔住了,割圆术虽可用来无限接近圆面积,称割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣,然不足解决眼前的问题。
此题有无穷小分割,又有无限大求和,然又定了设定,“当知诸乘方皆有尖锥”、“当知诸尖锥有积叠之理”,然后极限思想中,尖锥似乎又有曲线,又有运动。
还要求赵瑄炮击运动面积,这之间,似乎又是相互活动的。
因为尖锥不断变大变小,炮弹轨迹过去,面积也是不一样的。
这,这如何求积?
各样的画面在脑中转动,黄博文呆呆坐着,让他脑中嗡嗡声更为响动。
“儿啊,考功名才是正途!”
母亲双目中湿润的泪水。
“文儿,你这样下去,可如何是好?”
素来严厉的父亲,已经不说他什么,只是摇摇头,眼中闪过失望的神情,然后转身就走开了。
“黄博文,几十年你还是童生啊?”
同窗轻蔑嘲笑的眼神是如此刺骨,羞辱,打击,历历往事,从眼前飞速闪过。
“不,我要做出这条题,一举成名天下知!”
黄博文挣扎着,他伸手要拿来盘算,然眼前一阵阵金星乱冒,让他坐立不稳。他极力扶着桌面,身子仍不断摇摇晃晃,猛然,他一口鲜血喷出,眼前天旋地转,再也支持不住,就那样摔倒地上。
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